本件とは発生している内容が少し異なりますが、SEO SIMPLE PACK上でサーチコンソールのコードが正しく入りませんでした。
単にこの画面上表示されないだけかな？と思い、実際のサイトのソースを見て確認しても、反映されていないようです。

場所が異なるかもしれませんが、報告しておきます（詳細は動画に）。

また、サーチコンソールのタグだけじゃなく、他のサイトのもおそらく同様に更新できないようです。

試した環境は、

• 本番環境（2つのサイトで実験）→エックスサーバーのWAFをOFFにして、一時的にセキュリティプラグイン（XO Security）をOFFにして現象が発生。
• 開発環境→local上（プラグインなし、デフォルトテーマ使用）で同じ現象が発生。

OS・ブラウザは、Windows 10・Google Chrome（どちらも最新）を使用してます。

@96ssbike

入力するのはcontent="xxx"の中身だけになります！

失礼しました…💦

とりあえず、正しい方法でやったところ、エックスサーバー上ではWAFをONかつ、セキュリティ系プラグインとしてXO SecurityをONにした条件では、何もエラーは起きずに正しく更新できました。
質問者さんが仰っている内容については、何も発生しませんでした。

しかしながら、他の環境は試していませんので、 @fukai-takaaki さん、現状では取り急ぎWAFやセキュリティプラグインなどを見直していただければと思います。
参考記事： https://tecchan.jp/entry/210314-waf/

スクショを撮っておけばよかったんですが、気がまわらなかったです。

履歴も見てみましたが、それらしい履歴が残っておりませんでした。

本件のついでにもう一つ。

Googleアナリティクスのトラッキングコードを入力しようと思ったのですが、新しいカウントを作った場合、自動的にGoogle Analytics 4の導入になり、「G-」から始まる測定 IDしか入手できません。上手く認識しなかったため、ヘッダーに直接突っ込むようにしました。もしかしたら、トラッキングコードの種類の選択で「gtag.js」か「analytics.js」が合っていなかったせいかもしれませんが。