> ・親カテゴリーのブログ（category.php）にてSwellブロックの「タブ」を設置し、カテゴリーごとに表示を切り分けたいと考えております。
これ自体は、目指す機能はSWELLには存在しないかと思います。

SWELLでできる関連の機能の設定としては、
1. カスタマイザー＞記事一覧リストでできる設定内容（今回のやりたいことはできない）
2. WordPressのカテゴリー設定機能（SWELLで独自拡張済み）
ここで、私のサイトみたいに新着記事・人気記事とタブは設置可能。
https://tecchan.jp/entry/category/web/
もしくは、記事一覧を使わずに、カテゴリーページにブログパーツを配置して、その中にタブを設置し、さらに投稿リストブロックを使用して擬似的に記事一覧を設置は可能。ただし、この方法ではページャーを表示させることができない。
3. SWELL 2.3.6で搭載された「タームナビゲーション機能」で我慢する。
https://swell-theme.com/update/8017/
となります。

> この場合、対象のテンプレートファイル（category.php）を書き換えることなく、ワードプレスの機能で対応可能でしょうか。
おそらくできません。

> ワードプレスの機能で対応可能でしょうか。
WordPress本体には、この機能は備わっていないかと思います。

しらこさんのおっしゃる通りかと思います！

カテゴリーページにブログパーツを配置して、その中にタブを設置し、さらに投稿リストブロックを使用

というのがおそらく一番Tigerさんの思い描いているものに近いかなと思います。

ただし、しらこさんがおっしゃっている通り、ページャーは設置できなくなってしまいます。
複数のカテゴリー一覧を配置してそれぞれにページャーをつけるとすればかなり高度なカスタマイズが必要になってきます。

カテゴリー一覧ページ風の固定ページを用意して、そこに「タブ」ブロックと「投稿リスト」ブロックを配置していただくのもありかなとは思います。（それぞれの投稿リストに「もっと見る」リンクを設置すれば、各カテゴリーごとの２ページ目以降もちゃんとみれます。）

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ただ、個人的には変に難しいことを望みすぎずに今のままでいいかと思いますが...

しらこさん、了さん
お忙しい中、ご回答いただきありがとうございます。
まずは、swellでできることをしっかり把握していきます。
またわからない点がありましたら、ご質問したくお願いいたします。